Mons. Abilio Martínez Varea nació en Autol (La Rioja) el 29 de enero de 1964. Ingresó en el Seminario diocesano de Logroño, donde estudió filosofía y teología entre los años 1982 y 1987. Después se trasladó a Roma, donde obtuvo la licenciatura en teología dogmática por la Pontificia Universidad Gregoriana de Roma (1989). Fue ordenado sacerdote el 30 de septiembre de 1989.
Su ministerio sacerdotal lo desarrolló en la diócesis de Calahorra y La Calzada-Logroño. Su primer destino fue como vicario parroquial de la parroquia de San Bartolomé de Aldeanueva de Ebro (La Rioja) (1989-1994). Entre 1994 y 1996 realizó los cursos de doctorado en la Universidad Pontificia de Salamanca. A su regreso, fue nombrado vicario parroquial de San Pío X de Logroño. Ha desempañado los cargos de director del Secretariado de pastoral juvenil, delegado de Apostolado Seglar, profesor en el Instituto superior de ciencias religiosas San Dámaso —Extensión La Rioja—, director del Instituto diocesano San José de Calasanz para la obtención de la DECA en infantil y primaria, y delegado de Enseñanza. Desde el año 2005, hasta su nombramiento episcopal, fue vicario episcopal de Pastoral y Enseñanza.
El 5 de enero de 2017, el papa Francisco hizo público su nombramiento como obispo de Osma-Soria, recibiendo la ordenación episcopal el 11 de marzo del mismo año en la catedral de El Burgo de Osma (Soria).
En la Conferencia Episcopal Española es el presidente de la Subcomisión Episcopal para la Acción Caritativa y Social desde marzo de 2024. Ha sido miembro de la Comisión Episcopal para la Pastoral Social y la Promoción Humana (de 2020 a 2024) y de la Comisión Episcopal de Pastoral Social (de 2017 a 2024).
Además, es el presidente de la Fundación «Las Edades del Hombre» desde el 12 de octubre de 2022.
El 9 de julio de 2025 se anunció su nombramiento como obispo de Ciudad Real en sustitución de Mons. Gerardo Melgar Viciosa, que renunció por edad.